ggT- und kgV-Rechner

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, einer Menge ganzer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die jede von ihnen ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch jede von ihnen ohne Rest teilbar ist. Diese beiden Begriffe begegnen uns ständig beim Kürzen von Brüchen, beim Finden gemeinsamer Nenner, bei der Planung wiederkehrender Ereignisse und bei Überlegungen zur Teilbarkeit. Dieser Rechner akzeptiert eine ganze Liste ganzer Zahlen und liefert beide Werte gleichzeitig, zusammen mit den Schritten, die dazu führten, sodass das Ergebnis leicht nachvollziehbar ist und man daraus lernen kann.

Der ggT wird mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt, der wiederholt die größere Zahl durch den Rest der Division durch die kleinere ersetzt, bis der Rest null ist. Der letzte von null verschiedene Wert ist der ggT. Bei einer Liste mit mehr als zwei Zahlen wendet der Rechner die Operation über die Liste hinweg an und bildet jeweils den ggT aus dem bisherigen Zwischenergebnis und der nächsten Zahl. Derselbe Ansatz bildet das kgV, und zwar über die Beziehung, dass für jedes Paar gilt: kgV = a × b ÷ ggT. So bleiben Zwischenergebnisse klein und Überläufe werden vermieden.

Warum der Zusammenhang funktioniert

Jede ganze Zahl zerfällt in Primfaktoren; der ggT nimmt die niedrigste Potenz jeder gemeinsamen Primzahl, während das kgV die höchste Potenz jeder vorkommenden Primzahl nimmt. Deshalb ergibt das Produkt aus ggT und kgV zweier Zahlen deren Produkt: Zusammen berücksichtigen sie jede Primzahl genau so oft, wie es nötig ist. Wer das versteht, sieht auch, warum das kgV nie kleiner als die größte Eingabe und der ggT nie größer als die kleinste Eingabe ist – eine praktische Plausibilitätsprüfung für jedes Ergebnis.

Hinweise zur Eingabe und Datenschutz

Geben Sie Zahlen durch Leerzeichen, Kommas oder Zeilenumbrüche getrennt ein; Minuszeichen werden ignoriert, da die Teilbarkeit nur vom Betrag abhängt, und Nullen werden bei der kgV-Bildung übersprungen. Die Ergebnisse nutzen bei üblichen Eingaben exakte Ganzzahlarithmetik; extrem große Produkte können jedoch die Genauigkeit sicherer Ganzzahlen überschreiten, prüfen Sie riesige Werte daher unabhängig. Die gesamte Berechnung erfolgt mit mathjs in Ihrem Browser, und nichts von dem, was Sie eingeben, wird hochgeladen, gespeichert oder weitergegeben.