Kalkulator NWD i NWW

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

Największy wspólny dzielnik, czyli NWD, zbioru liczb całkowitych to największa liczba całkowita, która dzieli każdą z nich bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli NWW, to najmniejsza dodatnia liczba całkowita, która jest podzielna przez każdą z nich. Te dwa pojęcia stale pojawiają się przy skracaniu ułamków, szukaniu wspólnych mianowników, planowaniu powtarzających się zdarzeń i rozważaniach o podzielności. Ten kalkulator przyjmuje całą listę liczb całkowitych i zwraca obie wartości jednocześnie, razem z krokami, które do nich doprowadziły, dzięki czemu wynik łatwo sprawdzić i można się z niego uczyć.

NWD wyznacza się algorytmem Euklidesa, który wielokrotnie zastępuje większą liczbę resztą z dzielenia przez mniejszą, aż reszta osiągnie zero. Ostatnia niezerowa wartość jest NWD. Dla listy zawierającej więcej niż dwie liczby kalkulator stosuje operację kolejno wzdłuż listy, obliczając NWD bieżącego wyniku z każdą nową liczbą. To samo podejście buduje NWW, korzystając z zależności, że dla każdej pary NWW = a × b ÷ NWD, co utrzymuje małe liczby pośrednie i zapobiega przepełnieniu.

Dlaczego ta zależność działa

Każda liczba całkowita rozkłada się na czynniki pierwsze; NWD bierze najniższą potęgę każdej wspólnej liczby pierwszej, a NWW najwyższą potęgę każdej występującej liczby pierwszej. Dlatego pomnożenie NWD i NWW dwóch liczb daje ich iloczyn: razem uwzględniają każdą liczbę pierwszą dokładnie tyle razy, ile trzeba. Zrozumienie tego wyjaśnia, dlaczego NWW nigdy nie jest mniejsza od największej z liczb wejściowych, a NWD nigdy nie jest większy od najmniejszej — to przydatna kontrola poprawności każdej odpowiedzi.

Uwagi o danych wejściowych i prywatności

Wpisuj liczby oddzielone spacjami, przecinkami lub znakami nowej linii; znaki minus są ignorowane, ponieważ podzielność zależy tylko od wartości bezwzględnej, a zera są pomijane przy wyznaczaniu NWW. Wyniki wykorzystują dokładną arytmetykę całkowitą dla typowych danych, choć wyjątkowo duże iloczyny mogą przekroczyć precyzję bezpiecznych liczb całkowitych, więc ogromne wartości zweryfikuj niezależnie. Wszystkie obliczenia odbywają się w Twojej przeglądarce za pomocą mathjs, a nic, co wpiszesz, nie jest wysyłane, zapisywane ani udostępniane.