Calculadora de MDC e MMC

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

O máximo divisor comum, ou MDC, de um conjunto de números inteiros é o maior número inteiro que divide todos eles sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum, ou MMC, é o menor número inteiro positivo que é divisível por cada um deles. Estas duas ideias surgem constantemente ao simplificar frações, encontrar denominadores comuns, agendar eventos repetitivos e raciocinar sobre divisibilidade. Esta calculadora aceita uma lista completa de inteiros e devolve ambos os valores em simultâneo, juntamente com os passos que os produziram, para que o resultado seja fácil de verificar e de aprender.

O MDC é encontrado com o algoritmo de Euclides, que substitui repetidamente o número maior pelo resto da divisão pelo menor, até o resto chegar a zero. O último valor diferente de zero é o MDC. Para uma lista com mais de dois números, a calculadora aplica a operação ao longo da lista, calculando o MDC do resultado acumulado com cada novo número. A mesma abordagem constrói o MMC, usando a identidade de que, para qualquer par, MMC = a × b ÷ MDC, o que mantém os números intermédios pequenos e evita o excesso de capacidade.

Porque funciona a relação

Todo o número inteiro se decompõe em fatores primos; o MDC toma a menor potência de cada primo partilhado, enquanto o MMC toma a maior potência de cada primo que aparece. É por isso que multiplicar o MDC e o MMC de dois números reproduz o seu produto: em conjunto, contam cada primo exatamente o número certo de vezes. Perceber isto esclarece porque é que o MMC nunca é menor do que o maior valor introduzido e o MDC nunca é maior do que o menor, uma verificação de coerência útil para qualquer resposta.

Notas sobre a entrada e privacidade

Introduza os números separados por espaços, vírgulas ou novas linhas; os sinais negativos são ignorados porque a divisibilidade depende apenas da magnitude, e os zeros são ignorados ao calcular o MMC. Os resultados usam aritmética inteira exata para entradas típicas, embora produtos extremamente grandes possam exceder a precisão dos inteiros seguros, por isso verifique valores enormes de forma independente. Todo o cálculo acontece no seu navegador com mathjs e nada do que escreve é enviado, guardado ou partilhado.