Калькулятор НСД і НСК

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Найбільший спільний дільник, або НСД, набору цілих чисел — це найбільше ціле число, яке ділить кожне з них без остачі. Найменше спільне кратне, або НСК, — це найменше додатне ціле число, яке ділиться націло на кожне з них. Ці два поняття постійно трапляються під час скорочення дробів, пошуку спільних знаменників, планування повторюваних подій і міркувань про подільність. Цей калькулятор приймає цілий список цілих чисел і повертає обидва значення одразу разом із кроками, що до них привели, тож результат легко перевірити та вивчити.

НСД знаходять за алгоритмом Евкліда, який багаторазово замінює більше число остачею від ділення на менше, доки остача не стане нулем. Останнє ненульове значення і є НСД. Для списку з понад двох чисел калькулятор застосовує операцію послідовно вздовж списку, обчислюючи НСД поточного результату з кожним новим числом. Той самий підхід будує НСК, використовуючи тотожність: для будь-якої пари НСК = a × b ÷ НСД, що тримає проміжні числа малими та уникає переповнення.

Чому цей зв'язок працює

Кожне ціле число розкладається на прості множники; НСД бере найменший степінь кожного спільного простого числа, а НСК — найбільший степінь кожного простого числа, що трапляється. Тому добуток НСД і НСК двох чисел дорівнює їхньому добутку: разом вони враховують кожне просте число рівно стільки разів, скільки потрібно. Розуміння цього пояснює, чому НСК ніколи не менше за найбільше з вхідних чисел, а НСД ніколи не більший за найменше, — зручна перевірка правдоподібності будь-якої відповіді.

Примітки щодо вводу та приватність

Вводьте числа, розділені пробілами, комами або новими рядками; знаки мінус ігноруються, бо подільність залежить лише від модуля, а нулі пропускаються під час формування НСК. Результати використовують точну цілочисельну арифметику для типових вхідних даних, хоча надзвичайно великі добутки можуть перевищити точність безпечних цілих чисел, тож величезні значення перевіряйте окремо. Усі обчислення відбуваються у вашому браузері за допомогою mathjs, і нічого з введеного не завантажується, не зберігається й не передається.