Калькулятор комбинаторики
Вычисляйте сочетания nCr, размещения nPr и факториалы с показанными формулами с помощью mathjs.
🔒 Работает полностью в вашем браузере — ничего не загружаетсяПодсчёт выборов и расстановок
Комбинаторика — это математика подсчёта того, сколькими способами что-то может произойти, и основную работу выполняют два понятия: сочетания и размещения. Сочетание, записываемое как nCr, считает, сколькими способами можно выбрать r элементов из множества из n, когда порядок выбранных элементов не важен. Размещение, записываемое как nPr, считает, сколькими способами можно выбрать и упорядочить r элементов из n, когда порядок важен. Этот калькулятор показывает оба значения сразу, вместе с факториалом n, и выводит использованную формулу, чтобы результат было легко проверить.
Формулы тесно связаны. Факториал n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 считает упорядочения всех n элементов. Из него число размещений равно nPr = n! / (n − r)!, что убирает упорядочения невыбранных элементов. Сочетания затем делят на число порядков выбранных элементов, получая nCr = n! / (r! × (n − r)!). Поскольку порядок игнорируется, nCr всегда меньше или равно nPr, а равны они лишь тогда, когда r равно 0 или 1.
Где встречаются эти подсчёты
Эти подсчёты встречаются повсюду. Шансы в лотерее, вероятности карточных комбинаций и подбор членов комитета используют сочетания, потому что порядок результата не важен. Пароли, порядок финиша в гонке и рассадка гостей используют размещения, потому что перестановка тех же элементов даёт другой результат. Факториалы лежат в основе обоих понятий и также встречаются в распределениях вероятностей и разложениях в ряды. Главное — определить, важен ли порядок: если обмен двух элементов меняет результат, используйте размещения; если нет — сочетания.
Ограничения и приватность
Факториалы растут чрезвычайно быстро, поэтому большие значения n быстро выходят за пределы диапазона, в котором обычные числа остаются точными, и могут отображаться в научной нотации или помечаться как слишком большие. Для точных подсчётов с большими входными данными используйте программное обеспечение произвольной точности. В привычном диапазоне, применяемом на занятиях и в задачах по теории вероятностей, результаты здесь точны. Вся арифметика выполняется в вашем браузере с помощью mathjs; введённые значения никогда не загружаются, не сохраняются и не передаются.
Как использовать
- Введите n и rЗадайте n как общее число элементов, а r — сколько вы выбираете или упорядочиваете.
- Прочитайте результатыУвидьте вместе сочетания nCr, размещения nPr и факториал n!.
- Проверьте формулыРасписанная формула точно показывает, как получено каждое значение.