Calculatrice de combinatoire

Dénombrer des choix et des arrangements

La combinatoire est la branche des mathématiques qui compte de combien de façons quelque chose peut se produire, et deux idées font l'essentiel du travail : les combinaisons et les permutations. Une combinaison, notée nCr, compte de combien de façons on peut choisir r éléments parmi n lorsque l'ordre des éléments choisis n'importe pas. Une permutation, notée nPr, compte de combien de façons on peut choisir et ordonner r éléments parmi n lorsque l'ordre importe. Cette calculatrice donne les deux à la fois, avec la factorielle de n, et affiche la formule utilisée afin que le résultat soit facile à vérifier.

Les formules sont étroitement liées. La factorielle n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 compte les arrangements des n éléments. On en déduit le nombre de permutations : nPr = n! / (n − r)!, qui élimine les arrangements des éléments non choisis. Les combinaisons divisent ensuite par les ordres possibles des éléments choisis, ce qui donne nCr = n! / (r! × (n − r)!). Comme l'ordre est ignoré, nCr est toujours inférieur ou égal à nPr, et les deux sont égaux seulement lorsque r vaut 0 ou 1.

Où ces dénombrements interviennent

Ces dénombrements sont partout. Les probabilités au loto, les mains de cartes et la composition d'un comité utilisent des combinaisons, car l'ordre du résultat est sans importance. Les mots de passe, les classements d'arrivée d'une course et les plans de table utilisent des permutations, car réordonner les mêmes éléments produit un résultat différent. Les factorielles fondent les deux notions et apparaissent aussi dans les lois de probabilité et les développements en série. Savoir si l'ordre compte est la décision clé : si échanger deux éléments change le résultat, utilisez les permutations ; sinon, utilisez les combinaisons.

Limites et confidentialité

Les factorielles croissent extrêmement vite ; de grandes valeurs de n dépassent donc rapidement la plage où les nombres ordinaires restent exacts et peuvent être affichées en notation scientifique ou signalées comme trop grandes. Pour des dénombrements exacts avec de grandes entrées, utilisez un logiciel à précision arbitraire. Dans la plage courante des cours et des problèmes de probabilités, les résultats ici sont exacts. Tout le calcul s'effectue dans votre navigateur avec mathjs ; les valeurs saisies ne sont jamais envoyées, stockées ni partagées.