Calcolatore di calcolo combinatorio

Contare selezioni e disposizioni

Il calcolo combinatorio è la matematica che conta in quanti modi può verificarsi qualcosa, e due idee fanno quasi tutto il lavoro: combinazioni e permutazioni. Una combinazione, scritta nCr, conta in quanti modi puoi scegliere r elementi da un insieme di n quando l'ordine degli elementi scelti non conta. Una permutazione, scritta nPr, conta in quanti modi puoi scegliere e disporre r elementi tra n quando l'ordine conta. Questo calcolatore mostra entrambi i valori contemporaneamente, insieme al fattoriale di n, e indica la formula usata, così il risultato è facile da verificare.

Le formule sono strettamente collegate. Il fattoriale n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 conta le disposizioni di tutti gli n elementi. Da esso, il numero di permutazioni è nPr = n! / (n − r)!, che elimina le disposizioni degli elementi non scelti. Le combinazioni dividono poi per gli ordinamenti degli elementi scelti, ottenendo nCr = n! / (r! × (n − r)!). Poiché l'ordine viene ignorato, nCr è sempre minore o uguale a nPr, e i due valori coincidono solo quando r è 0 o 1.

Dove compaiono questi conteggi

Questi conteggi sono ovunque. Le probabilità della lotteria, le mani di carte e la scelta dei membri di un comitato usano le combinazioni, perché l'ordine del risultato è irrilevante. Password, ordini d'arrivo in una gara e disposizioni dei posti a sedere usano le permutazioni, perché riordinare gli stessi elementi produce un esito diverso. I fattoriali sono alla base di entrambi e compaiono anche nelle distribuzioni di probabilità e negli sviluppi in serie. Capire se l'ordine conta è la decisione chiave: se scambiare due elementi cambia l'esito, usa le permutazioni; se non lo cambia, usa le combinazioni.

Limiti e privacy

I fattoriali crescono estremamente in fretta, quindi valori grandi di n superano rapidamente l'intervallo in cui i numeri ordinari restano esatti e possono essere mostrati in notazione scientifica o segnalati come troppo grandi. Per conteggi esatti con input grandi, usa software a precisione arbitraria. Nell'intervallo quotidiano usato nei corsi e nei problemi di probabilità, i risultati qui sono esatti. Tutti i calcoli avvengono nel tuo browser con mathjs; i valori inseriti non vengono mai caricati, salvati o condivisi.