Calculadora de descomposición en factores primos

Descomponer un número en primos

Todo número entero mayor que 1 puede escribirse como producto de números primos de una única manera, salvo el orden de los factores. Este es el teorema fundamental de la aritmética, y la descomposición en factores primos de un número es ese producto único. Por ejemplo, 360 = 2³ × 3² × 5. Esta calculadora obtiene la descomposición de cualquier número entero hasta 9,007,199,254,740,991, que es 2^53 − 1 y el mayor entero que un navegador puede representar con exactitud. Los resultados aparecen en forma exponencial, en forma totalmente desarrollada y como árbol de factores.

Divisores, su número y su suma

Una vez que conoces la descomposición en factores primos, muchas otras propiedades se deducen directamente. Si un número es igual a p₁^a₁ × p₂^a₂ × …, el número de divisores positivos es (a₁ + 1)(a₂ + 1)…, porque cada divisor elige un exponente desde 0 hasta la potencia completa de cada primo. La suma de los divisores es el producto de (1 + p + p² + … + p^a) sobre todos los primos. Para 360 eso da 4 × 3 × 2 = 24 divisores con una suma de 1170. La herramienta enumera todos los divisores en orden creciente, lo que ayuda en tareas como encontrar factores comunes, simplificar fracciones y comprobar si un número es perfecto, es decir, si sus divisores distintos de él mismo suman exactamente ese número.

Cómo funciona la factorización

Los factores primos pequeños se eliminan mediante división por tentativa usando una rueda que omite los múltiplos de 2 y 3. Lo que queda solo tiene factores primos grandes, así que la calculadora lo comprueba con un test determinista de Miller-Rabin y, si es compuesto, lo divide con el algoritmo rho de Pollard (Pollard's rho) usando aritmética BigInt exacta, y después lo factoriza de forma recursiva. Así, incluso los productos de dos primos del orden de decenas de millones se resuelven rápidamente, mientras que la división por tentativa pura sería lenta. El árbol de factores muestra una forma de llegar a los primos separando el primo más pequeño en cada paso.

El modo por lotes te permite pegar una lista completa de números y recibir una tabla con la factorización y el número de divisores de cada uno, mientras que las entradas no válidas se señalan individualmente en lugar de detener el proceso. Todo se calcula en tu navegador, así que los números que introduces nunca se suben.